基礎数学例

$3 a^{4} - 6 a^{3} + 9 a$

ステップ 1

$3 a$ を $3 a^{4} - 6 a^{3} + 9 a$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$3 a$ を $3 a^{4}$ で因数分解します。

$3 a (a^{3}) - 6 a^{3} + 9 a$

ステップ 1.2

$3 a$ を $- 6 a^{3}$ で因数分解します。

$3 a (a^{3}) + 3 a (- 2 a^{2}) + 9 a$

ステップ 1.3

$3 a$ を $9 a$ で因数分解します。

$3 a (a^{3}) + 3 a (- 2 a^{2}) + 3 a (3)$

ステップ 1.4

$3 a$ を $3 a (a^{3}) + 3 a (- 2 a^{2})$ で因数分解します。

$3 a (a^{3} - 2 a^{2}) + 3 a (3)$

ステップ 1.5

$3 a$ を $3 a (a^{3} - 2 a^{2}) + 3 a (3)$ で因数分解します。

$3 a (a^{3} - 2 a^{2} + 3)$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $a^{3} - 2 a^{2} + 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

ステップ 2.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 2 + 3$

ステップ 2.1.3.5

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- 3 + 3$

ステップ 2.1.3.6

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $a + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{a^{3} - 2 a^{2} + 3}{a + 1}$

ステップ 2.1.5

$a^{3} - 2 a^{2} + 3$ を $a + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$a$

$1$

$a^{3}$

$2 a^{2}$

$0 a$

$3$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $a^{3}$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

					$a^{2}$
	$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			+	$a^{3}$	+	$a^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $a^{3} + a^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 3 a^{2}$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

				$a^{2}$	-	$3 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$a^{2}$	-	$3 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					-	$3 a^{2}$	-	$3 a$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 a^{2} - 3 a$ の符号をすべて変更します。

				$a^{2}$	-	$3 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$a^{2}$	-	$3 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$
							+	$3 a$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$a^{2}$	-	$3 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$
							+	$3 a$	+	$3$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $3 a$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

				$a^{2}$	-	$3 a$	+	$3$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$
							+	$3 a$	+	$3$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$a^{2}$	-	$3 a$	+	$3$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$
							+	$3 a$	+	$3$
							+	$3 a$	+	$3$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $3 a + 3$ の符号をすべて変更します。

				$a^{2}$	-	$3 a$	+	$3$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$
							+	$3 a$	+	$3$
							-	$3 a$	-	$3$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$a^{2}$	-	$3 a$	+	$3$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$2 a^{2}$	+	$0 a$	+	$3$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$3 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$3 a^{2}$	+	$3 a$
							+	$3 a$	+	$3$
							-	$3 a$	-	$3$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$a^{2} - 3 a + 3$

ステップ 2.1.6

$a^{3} - 2 a^{2} + 3$ を因数の集合として書き換えます。

$3 a ((a + 1) (a^{2} - 3 a + 3))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$3 a (a + 1) (a^{2} - 3 a + 3)$

基礎数学 例

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